TA的每日心情 | 开心
2021-5-6 09:30 |
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签到天数: 1 天 [LV.1]九品 酒贼
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最近在抖音上看到一个视频：一个大爷在街上摆摊，用一个袋子装了红绿蓝各8个珠子。玩家把手伸进口袋摸出12个珠子，数出不同颜色珠子个数，就能够获得相应的奖金。 6 \) }+ \$ \& Q7 m* T/ p# S0 Y
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比如摸出的12个珠子里，颜色最多的珠子有8个，颜色次多的珠子有4个，还有一种颜色没有，就叫840，玩家会获得100元！如果珠子个数是831，就能获得10元，如果是444，就能获得1元等等。
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7 q& }9 N; L5 l f, u2 D3 l 但是还有一种情况，如果三种颜色珠子的个数是543，玩家还得给老板10元。全部的情况和中奖金额如下：9 m/ V" J/ t3 N+ q) ]
p: W* [" S# S8 W# e
. ]+ I1 y2 ^. r, U. g) e4 I. ^
% d7 ^9 l! H, S; a, q2 I1 @+ [ 这个游戏看起来赢面很大——13种情况中12种都挣钱，只有一种输钱。可是这个小朋友玩了好几次，还把自己的亲戚朋友都叫来玩，结果一直输钱，这是为什么呢？ + J8 J6 c) v* n$ Y0 q; Z; B
& g j7 z. V- @8 {0 K6 z, H
很显然，这是一个概率游戏。我们首先要计算从24个珠子中摸出12个珠子一共有多少种可能，然后再计算每一种中奖的情况对应多少种可能，就能计算中奖的概率了。' B, O3 @6 s) r5 S: \
' `4 I. n8 Z+ h- N# x5 S* W2 W$ }4 S 一.总共的情况数
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6 [' `: `4 u6 O8 H 从n个元素里取出m个元素的方法数叫做组合数，数学告诉我们： : }% _" c9 u( A6 T6 p% f
$ C; s. H8 \3 @; a) ~ 一共有24个球，取出12个，按照组合数公式 9 ^' j1 p, S; I/ q8 T
# V \5 I9 I- N- W; g 即从袋子中取出的球，不计算先后次序，一共有二百七十万四千一百五十六种情况。1 }/ \9 ^; ?; P' g
, j; \5 q! \# N2 x8 d: `$ s 二.中奖的情况数* y& u5 `$ J3 Y+ R
$ B( Q. S4 f) d( v( k$ U 我们需要把中奖的情况分为三类：三个数字不同、两个数字相同、三个数字都相同。0 S% ~' D+ ^# L4 ?8 E
$ T- z& S. k; q7 B5 f S! Z 01三个数字不同
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如果取出三种颜色的球数量彼此不同，比如840这样的情况，首先要区分红、绿、蓝三种颜色的球，谁最多，谁其次，谁最少。对颜色进行排序有6种可能，分别是红绿蓝、红蓝绿、绿红蓝、绿蓝红、蓝红绿、蓝绿红。; q5 }" z {: C5 B( r% f
) P; q% z6 R6 K4 ~! J* G; v; L7 X& @: C 然后，在第一种颜色的8个球中取8个，第二种颜的8个球中取4个，第三种颜色的8个球中取0个，所以840对应的情况数是：# I' K# M4 L+ U1 c! T+ O
; U8 V, @) U+ X* K( l
类似的，我们可以计算出其他几种结果的情况数：
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3 F0 T( s, T) e/ Z
, Q7 p5 s( V6 S# H2 ^; C: C 02两个数字相同
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3 k6 {3 P* W6 [3 G) ?- c$ D 如果取出的的球，有两种球个数一样多，比如822，又该怎么计算呢？+ ~$ y( y- s; u, X- S5 {' ^
$ i0 p: T/ Q0 Y4 h* ^
这时，首先要在三种颜色中选出一种，让它的个数与另外两种不同，比如红色、绿色、蓝色哪种颜色有8个球？这有三种情况。确定了个数不同的球的颜色，另外两个颜色的球个数相同，就不用区分了。你应该能计算出822这种结果对应的情况数 {# k" |4 w! E( k: S# {
Z1 ^% `+ ~" B# L- f- e
) V5 O3 d! {3 F" Y6 I
3 F! p- u/ _* H9 ?1 }8 O0 g 03三个数字相同
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! o1 v7 O, F4 \! j- q8 o7 ? 如果摸出12个球，每种颜色各有4个，就属于第三种情况。这时我们不需要再对颜色排序，只需要从每种颜色的8个球中取出4个即可，方法数有：' L& E5 f$ q4 l% a6 t2 M) c
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, r4 H8 w3 x) F3 @3 ]) I 三. 概率和期望, i5 j5 u% y! b1 L' H& j
# T# {8 v$ m5 T9 P 从24个球中摸出12个，共有2704156种方法。13种中奖的可能，每一种对应的情况数从420种到1317120不等。某种结果的情况数越多，出现的概率越大，概率等于这种结果的情况数除以24个球中摸出12个总的情况数：
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5 [2 N7 E Z! x" c9 z3 l2 l 你会发现：概率最大的结果是543，概率48.7%，概率最小的结果是840，只有0.02%的可能。几乎玩2把就有一把是543，玩5000把才会出现一把840!
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' t l e2 ]3 k& S3 f0 u1 @ 不同的情况，获得的奖金不同。用概率乘以对应情况的奖金，就得到了期望。所谓期望，就是这种获奖规则下平均能够给玩家的回报。
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我们把表格补充完整：
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7 H- T+ U# Y! x. b5 T9 h) ]4 x! @ 你发现了什么吗？赢钱的结果有12种，但是每一种情况下赢钱的期望都是几分钱到一毛多。输钱的结果只有543一种，但是这一种情况的期望却是-4.87元！把所有结果的期望相加，就会得到这个游戏的总期望值：-4.25元！每次玩游戏，玩家平均输掉4.25元！. w9 d+ \0 t Z6 q5 i+ f" K- j$ z; t" _
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敢开饭店就不怕大肚汉，敢街头摆摊就不怕你来玩。想从大爷手里挣钱，你还是太天真了！
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发表于 2022-2-9 14:59:22
