年入百万的“摸珠子游戏”

龙飞电脑工作室

　　最近在抖音上看到一个视频：一个大爷在街上摆摊，用一个袋子装了红绿蓝各8个珠子。玩家把手伸进口袋摸出12个珠子，数出不同颜色珠子个数，就能够获得相应的奖金。　
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　　比如摸出的12个珠子里，颜色最多的珠子有8个，颜色次多的珠子有4个，还有一种颜色没有，就叫840，玩家会获得100元！如果珠子个数是831，就能获得10元，如果是444，就能获得1元等等。　　



　　但是还有一种情况，如果三种颜色珠子的个数是543，玩家还得给老板10元。全部的情况和中奖金额如下：
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5 T+ ?0 ]% @7 r8 i5 W　　　　这个游戏看起来赢面很大——13种情况中12种都挣钱，只有一种输钱。可是这个小朋友玩了好几次，还把自己的亲戚朋友都叫来玩，结果一直输钱，这是为什么呢？　　
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　　很显然，这是一个概率游戏。我们首先要计算从24个珠子中摸出12个珠子一共有多少种可能，然后再计算每一种中奖的情况对应多少种可能，就能计算中奖的概率了。

& M' K1 f5 [8 e2 n( D- X　　一.总共的情况数
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　　从n个元素里取出m个元素的方法数叫做组合数，数学告诉我们：　　

2 l3 w  g) |+ n1 K8 I. A: Y- K　　一共有24个球，取出12个，按照组合数公式　　
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　　即从袋子中取出的球，不计算先后次序，一共有二百七十万四千一百五十六种情况。
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" Z% j" t  j& h# q, y1 i) v6 P, S　　二.中奖的情况数
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* I  k; t" k9 ?+ Q5 L　　我们需要把中奖的情况分为三类：三个数字不同、两个数字相同、三个数字都相同。
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　　01三个数字不同

: {, V) r+ Q# O% r. j1 W% f: @　　如果取出三种颜色的球数量彼此不同，比如840这样的情况，首先要区分红、绿、蓝三种颜色的球，谁最多，谁其次，谁最少。对颜色进行排序有6种可能，分别是红绿蓝、红蓝绿、绿红蓝、绿蓝红、蓝红绿、蓝绿红。
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　　然后，在第一种颜色的8个球中取8个，第二种颜的8个球中取4个，第三种颜色的8个球中取0个，所以840对应的情况数是：
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) d, \+ H' N/ `4 c2 B　　类似的，我们可以计算出其他几种结果的情况数：

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) G- t5 S2 T' N0 o' a! f! r& ~　　02两个数字相同
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　　如果取出的的球，有两种球个数一样多，比如822，又该怎么计算呢？
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& n/ k; G+ `3 _: J- w　　这时，首先要在三种颜色中选出一种，让它的个数与另外两种不同，比如红色、绿色、蓝色哪种颜色有8个球？这有三种情况。确定了个数不同的球的颜色，另外两个颜色的球个数相同，就不用区分了。你应该能计算出822这种结果对应的情况数
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5 R! O- O" O  a　　

+ U# k+ [0 N  O4 y0 [1 G　　03三个数字相同
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5 j, a" f" u: @5 G3 Z3 g, e　　如果摸出12个球，每种颜色各有4个，就属于第三种情况。这时我们不需要再对颜色排序，只需要从每种颜色的8个球中取出4个即可，方法数有：
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　　三. 概率和期望

6 L" P! X2 H- o7 W/ \! O: I. w　　从24个球中摸出12个，共有2704156种方法。13种中奖的可能，每一种对应的情况数从420种到1317120不等。某种结果的情况数越多，出现的概率越大，概率等于这种结果的情况数除以24个球中摸出12个总的情况数：　　
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　　你会发现：概率最大的结果是543，概率48.7%，概率最小的结果是840，只有0.02%的可能。几乎玩2把就有一把是543，玩5000把才会出现一把840!

: r; r1 _7 K" t$ M　　不同的情况，获得的奖金不同。用概率乘以对应情况的奖金，就得到了期望。所谓期望，就是这种获奖规则下平均能够给玩家的回报。

　　 　

. [  \( B, {9 m, m　　我们把表格补充完整：
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  w2 }  ~% _: X" j, c3 }　　你发现了什么吗？赢钱的结果有12种，但是每一种情况下赢钱的期望都是几分钱到一毛多。输钱的结果只有543一种，但是这一种情况的期望却是-4.87元！把所有结果的期望相加，就会得到这个游戏的总期望值：-4.25元！每次玩游戏，玩家平均输掉4.25元！
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/ B) C  n+ e, Q$ N: ]9 ?5 @( p　　敢开饭店就不怕大肚汉，敢街头摆摊就不怕你来玩。想从大爷手里挣钱，你还是太天真了！